在前两期的分享中，我们分别通过台球桌和茶室点单的例子，了解了贝叶斯法则的基本逻辑和实际应用。它允许我们在数学上表达个人经验，并以条理化的、易懂的方式将其与数据结合起来，引导我们进行正确的推理。
今天的分享，我们从一个日常生活中的问题引入——假设你进行了一项体检，结果显示为阳性。那么你实际患有该病的可能性有多大？
我们假设问题中所指的体检是乳房X光检测，结果显示有乳腺癌阳性。前向概率为：假设你的确患有乳腺癌，检测结果是阳性的概率为P（检测|疾病）。
这一概率在医学生也被称作“灵敏度”（sensitivity）。通常情况下，这个概率对于所有类型的患者而言是一样的，因为它依赖于检测仪器在技术上识别与该疾病相关的异常生理现象的灵敏度。
逆概率指的是：假定检测结果为阳性，检测者确诊乳腺癌的概率大小，也就是P（疾病|检测）。这个概率对于不同类型的患者有所差异，因为相应疾病家族史等因素会影响病人患病的几率。
接下来，我们代入具体的案例中。一位40岁的女性做了乳房X光检查，结果显示为乳腺癌阳性。假设D（代表“疾病”）指她得了癌症，证据T（代表“检测”）指检测结果。那么，她应该相信这个结果吗？是否需要做手术？
（D的更新概率）=P（D|T）=（似然比）×（D的先验概率）
方程中的新术语“似然比”（likelihood ratio）由P（T|D）/P（T）给定。它衡量的是该疾病的患者得到阳性检测结果的概率比一般群体要高多少。因此，在方程中，无论先验概率是多少，新证据T都会通过一个固定的比率增加D的概率。
对于40岁女性来说，她在下一年患乳腺癌的概率约为1/700，我们将此作为先验概率。
为了计算似然比，我们需要知道P（T|D）和P（T）。P（T|D）是检查的灵敏度，依据乳腺癌监测联合会（BCSC）的数据，40岁女性进行乳房X光检查，敏感度达到73%。
因此，P（T）应该是P（T|D）（患病者检测结果为阳性的概率）和P（T|~D）（未患病者检测结果为阳性的概率）的加权平均。根据BCSC的数据，40岁女性做乳房X光检查的假阳性率约为12%。
P（T）=（1/700）×（73%）+（699/700）×（12%）≈12.1%
结果非常接近BCSC的假阳性率数据。根据P（T），计算出似然比为73%/12.1%≈6。先验概率是1/700，因此其更新概率是6×1/700≈1/116。
换言之，即使检测结果呈阳性，该受检者被确诊为癌症的概率也不足1%。如下图所示，假阳性结果的数量要压倒性地多于真阳性结果的数量，这一结论可能超乎大家的想象。
这一结果之所以如此意外，是源于对前向概率和逆概率的认知偏差。即认为前者的结论是基于深入研究和详实的支持资料得出的，而后者则更多地依赖于个人的主观判断和决策。
基于这一结论，相关疾病防治小组对面向国民的健康建议进行了调整。2009年，美国预防医学工作组（USPSTF）建议，40岁的女性无需每年进行乳房X光检查，因为阳性结果更可能引发不必要的担忧和恐慌，并过度寻求治疗。
然而，对于一名已知携带乳腺癌遗传基因的40岁女性检测者而言，情况则截然不同——她第二年罹患乳腺癌的风险高达1/20，而且乳房X光检查呈阳性的概率也会上升到1/3。因此，工作组同时建议，处于乳腺癌高风险的女性应当坚持每年进行一次检查。
那么，在前两篇的台球桌例子中，贝叶斯是如何处理P（L）的主观性的？贝叶斯法则的解决方案包括两个部分：
（1）贝叶斯感兴趣的不是台球桌自身的长度，而是在特定球桌长度下某个未来事件的结果（下一球在桌子某一特定范围内停止的可能性）。
（2）贝叶斯假设L机械地取决于从某个更远或更近的距离击球，比如已知有人从L *处击球，则我们可以用L *替代L。通过这种方式赋予了P（L）以客观性，并将问题转化为从数据中估计先验概率。
（1）提出一个假设；（2）推断假设的可检验结果；（3）进行实验并收集证据；（4）更新对假设的信念。
通常情况下，教科书涉及的只是简单的正确和错误两种结果的检测和更新，证据要么证实了假设，要么驳斥了假设。但是作者认为，生活和科学并不只是正误和正确，所有的证据都包含一定程度的不确定性。而贝叶斯法则正是对科学方法的提炼，引导我们如何在现实世界中更新对假设的信念。
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